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(2011•白云区一模)已知关于x的二次函数y=x2+(2k-1)x+k2-1.(1)若关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的两根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐标系(如图)中画出函数y=x2+(2k-1)x+k2
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(1)若关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的两根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐标系(如图)中画出函数y=x2+(2k-1)x+k2-1的大致图象;
(2)在(1)的条件下,设这个二次函数的图象与x轴从左至右交于A、B两点.问函数对称轴右边的图象上,是否存在点M,使锐角△AMB的面积等于3.若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)、(2)条件下,若P点是二次函图象上的点,且∠PAM=90°,求△APM的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵所给一元二次方程有解,
∴根的判别式△≥0,
即(2k-1)2-4(k2-1)≥0,
解得k≤
;
设方程的两个根分别为x1、x2,
则x12+x22=9,
即(x1+x2)2-2x1x2=9,
又x1+x2=-(2k-1),x1•x2=k2-1,
分别代入上式,
解得k1=-1或k2=3,
∵k≤
,
∴k=-1.
代入函数式中,得y=x2-3x,
配方可得y=(x−
)2−
,
即抛物线的对称轴为x=
,顶点坐标为D(
,-
),
大致图象如下(如图);![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754663-5421.jpg)
(2)由(1),令y=0,得x2-3x=0,
解得x1=0,x2=3,
∴A(0,0),B(3,0).
这样的点存在.
其坐标为M(2,-2).
设M(xm,ym),而△AMB是锐角三角形,
故
<xm<3,
∴ym<0.故有S△AMB=
•|AB|•|ym|=
•3•|ym|=3,
∴|ym|=2,ym=±2,舍去正值,
∴ym=-2,
当ym=-2时,xm2-3xm=-2,
解得xm=1或xm=2,
∵
<xm<3,
∴xm=1舍去,而
<2<3,
∴xm=2满足条件,
∴这样的点存在,其坐标为M(2,-2);
(3)∵M(2,-2),
∴∠MAB=45°,
∴∠BAP=45°,
∴AP所在直线的解析式为:y=x,
∵P也在抛物线上,
∴x2-3x=x,
解得:x1=0(舍去),x2=4,
此时y=4,
∴P(4,4),可求得线段AP长=4
,线段AM长=2
,
∴S△AMP=
•2
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∴根的判别式△≥0,
即(2k-1)2-4(k2-1)≥0,
解得k≤
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4 |
设方程的两个根分别为x1、x2,
则x12+x22=9,
即(x1+x2)2-2x1x2=9,
又x1+x2=-(2k-1),x1•x2=k2-1,
分别代入上式,
解得k1=-1或k2=3,
∵k≤
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∴k=-1.
代入函数式中,得y=x2-3x,
配方可得y=(x−
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即抛物线的对称轴为x=
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大致图象如下(如图);
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754663-5421.jpg)
(2)由(1),令y=0,得x2-3x=0,
解得x1=0,x2=3,
∴A(0,0),B(3,0).
这样的点存在.
其坐标为M(2,-2).
设M(xm,ym),而△AMB是锐角三角形,
故
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∴ym<0.故有S△AMB=
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∴|ym|=2,ym=±2,舍去正值,
∴ym=-2,
当ym=-2时,xm2-3xm=-2,
解得xm=1或xm=2,
∵
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∴xm=1舍去,而
3 |
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∴xm=2满足条件,
∴这样的点存在,其坐标为M(2,-2);
(3)∵M(2,-2),
∴∠MAB=45°,
∴∠BAP=45°,
∴AP所在直线的解析式为:y=x,
∵P也在抛物线上,
∴x2-3x=x,
解得:x1=0(舍去),x2=4,
此时y=4,
∴P(4,4),可求得线段AP长=4
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∴S△AMP=
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