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已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={(x,y)|y=1x};②M={(x,y)|y=si
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已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
①M={(x,y)|y=
};
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③M={(x,y)|y=log2x};
④M={(x,y)|y=ex-2}.
其中是“垂直对点集”的序号是______.
①M={(x,y)|y=
1 |
x |
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③M={(x,y)|y=log2x};
④M={(x,y)|y=ex-2}.
其中是“垂直对点集”的序号是______.
▼优质解答
答案和解析
由题意,若集合M={(x,y)|y=f(x)}满足,对于任意A(x1,y1)∈M,存在B(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,因此
⊥
.所以,若M是“垂直对点集”,那么在M图象上任取一点A,过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B.
对于①M={(x,y)|y=
},其图象是过一、三象限的双曲线,做第一象限的角平分线与双曲线交于点A,与OA垂直的直线是二、四象限的角平分线,显然与双曲线没有公共点.所以对于点A,在图象上不存在点B,使得OB⊥OA,所以①不符合题意;
对于②M={(x,y)|y=sinx+1},画出函数图象,在图象上任取一点A,连OA,过原点作直线OA的垂线OB,因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展,且与x轴相切,因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交.所以M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直对点集”,故②符合;
对于③M={(x,y)|y=log2x},对于函数y=log2x,过原点做出其图象的切线OT(切点T在第一象限),则过切点T做OT的垂线,则垂线必不过原点,所以对切点T,不存在点M,使得OM⊥OT,所以M={(x,y)|y=log2x}不是“垂直对点集”;故③不符合题意;
对于④M={(x,y)|y=ex-2},其图象过点(0,-1),且向右向上无限延展,向左向下无限延展,所以,据图可知,在图象上任取一点A,连OA,过原点作OA的垂线OB必与y=ex-2的图象相交,即一定存在点B,使得OB⊥OA成立,故M={(x,y)|y=ex-2}是“垂直对点集”.
故答案为:②④
OA |
OB |
对于①M={(x,y)|y=
1 |
x |
对于②M={(x,y)|y=sinx+1},画出函数图象,在图象上任取一点A,连OA,过原点作直线OA的垂线OB,因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展,且与x轴相切,因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交.所以M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直对点集”,故②符合;
对于③M={(x,y)|y=log2x},对于函数y=log2x,过原点做出其图象的切线OT(切点T在第一象限),则过切点T做OT的垂线,则垂线必不过原点,所以对切点T,不存在点M,使得OM⊥OT,所以M={(x,y)|y=log2x}不是“垂直对点集”;故③不符合题意;
对于④M={(x,y)|y=ex-2},其图象过点(0,-1),且向右向上无限延展,向左向下无限延展,所以,据图可知,在图象上任取一点A,连OA,过原点作OA的垂线OB必与y=ex-2的图象相交,即一定存在点B,使得OB⊥OA成立,故M={(x,y)|y=ex-2}是“垂直对点集”.
故答案为:②④
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