如图①，四边形OACB为长方形，A（-6，0），B（0，4），直线l为函数y=-2x-5的图象．（1）点C的坐标为；（2）若点P在直线l上，△APB为等腰直角三角形，∠APB=90°，求点P的坐标；小明的思考

Question

如图①，四边形OACB为长方形，A（-6，0），B（0，4），直线l为函数y=-2x-5的图象．
（1）点C的坐标为___；
（2）若点P在直线l上，△APB为等腰直角三角形，∠APB=90°，求点P的坐标；
小明的思考过程如下：
第一步：添加辅助线，如图②，过点P作MN∥x轴，与y轴交于点N，与AC的延长线交于点M；
第二步：证明△MPA≌△NBP；
第三步：设NB=m，列出关于m的方程，进而求得点P的坐标．
请你根据小明的思考过程，写出第二步和第三步的完整解答过程；
（3）若点P在直线l上，点Q在线段AC上（不与点A重合），△QPB为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．

Answer 1

（1）∵四边形AOBC是矩形，
∴AO=CO=6，AC=BO=4，
∴点C的坐标为（-6，4）．
故答案为C（-6，4）．
（2）根据题意得：∠AMP=∠PNB=90°，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠APB=90°，
∵∠APB=∠AMP=90°，
∴∠NPB+∠MPA=∠MPA+∠MAP=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
在△MPA和△NBP中，

∠MAP=∠NPB

∠AMP=∠PNB

PA=PB

，
∴△MPA≌△NBP（AAS），
∴AM=PN，MP=NB，
设NB=m，则MP=m，PN=MN-MP=6-m，AM=4+m，
∵AM=PN，
∴4+m=6-m，
解得：m=1，
∴点P的坐标为（-5，5）；
（3）设点Q的坐标为（-6，q），
分3种情况讨论：
①当∠PBQ=90°时，如右图，过点P作PM⊥y轴于点M，点Q作QN⊥y轴于点N，
∵∠QBN+∠PBM=90°，∠MPB+∠PBM=90°
∴∠QBN=∠MPB，∠PMB=∠QNB=90°
在△AQN和△PBM中，

∠MPB=∠QBN

∠PMB=∠QNB

AP=QB

，
∴△PMB≌△BNQ，
∴MB=NQ=6，PM=BN=4-q，∴P（q-4，10），
代入y=-2x-5，解得：q=-3.5，
∴p（-7.5，10）．
②当∠BPQ=90°时，
若点P在BQ上方，即为（2）的情况，此时点Q与点A重合，由于题设中规定点Q不与点A重合，故此种情况舍去；
若点P在BQ下方，如右图，过点P作PN⊥AC于点N，作PM⊥y轴于点M，
设BM=m，
∵∠APM+∠NPC=90°，∠NQB+∠NPQ=90°，
∴∠BPM=∠NQP，
在△APM和△QPN中，

∠APM=∠NQP

∠AMP=∠PNQ

PA=PQ

∴△PMB≌△CNP，
∴PN=BM=m，
∴PM=6-m，
∴P（m-6，4-m），
把P坐标代入y=-2x-5，得4-m=-2m+12-5，
解得：m=3
此时点P的坐标为（-3，1）；
③当∠PQB=90°时如右图，过点Q作QM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥AC垂足为N，
设BM=m，
∵∠PQB=∠MQN=90°，
∴∠PQN=∠MQB，
在△PQN和△BQM中，

∠PQN=∠BQM

∠PNQ=∠BMQ

PQ=QB

，
∴△PNQ≌△BMQ，
∴QN=QM=6，MB=NP=m，
∴P（-6-m，10-m），
把P坐标代入y=-2x-5，得：10-m=12+2m-5，
解得：m=1，此时点P的坐标为（-7，9），
综上所述，点P的坐标为（-7.5，10）或（-3，1）或（-7，9）．