设向量a=（cos（π／w）x,sin（π／w）x）,b=（cosφ,sinφ）其中w＞0,0＜=φ＜2π,且函数f（x）=a*b为偶函数（1）求φ值（2）若函数f（x）在（0,3）上单调递减,试求w最小时,f（1）+f（2）+••̶

Question

设向量a=（cos（π／w）x,sin（π／w）x）,b=（cosφ,sinφ）
其中w＞0,0＜=φ＜2π,且函数f（x）=a*b为偶函数
（1）求φ值
（2）若函数f（x）在（0,3）上单调递减,试求w最小时,f（1）+f（2）+••••••f（2013）的值

Answer 1

1
f(x)=a·b=(cos(πx/w),sin(πx/w))·(cosφ,sinφ)
=cos(πx/w)*cosφ+sin(πx/w)*sinφ
=cos(πx/w-φ)
f(x)是偶函数,即：f(-x)=f(x)
即：cos(-πx/w-φ)=cos(πx/w+φ)=cos(πx/w-φ)
即：-2sin(πx/w)sinφ=0
即：φ=0或π,题目中φ的范围是：φ∈[0,2π)吗?
2
f(x)是cos(πx/w)或-cos(πx/w)
最小正周期：T=2π/(π/w)=2w
在(0,3)上单调,故：w≥3
即w的最小值：3
此时,f(x)=cos(πx/3)或f(x)=-cos(πx/3)
f(x)=cos(πx/3)
f(1)=1/2,f(2)=-1/2,f(3)=-1
f(4)=-1/2,f(5)=1/2,f(6)=1
即：
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0
故：f(1)+f(2)+...f(2013)
=335*(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6))+f(1)+f(2)+f(3)
=-1
f(x)=-cos(πx/3)
f(1)+f(2)+...f(2013)=1