设O是直角坐标系的原点,向量OA=2i+3j,OB=4i-j,在x轴上求一点P,使AP*BP最小（＊表示数量积）,并求此时的角APB.

Question

设O是直角坐标系的原点,向量OA=2i+3j,OB=4i-j,在x轴上求一点P,使
AP*BP最小（＊表示数量积）,并求此时的角APB.

Answer 1

不知道你余弦定理学过没有
A(2,3) B(4,-1) P(x,0)
注意题目的一个陷阱
∠APB不是向量AP与BP的夹角 而是他们夹角的补角
连接AB 利用余弦定理
cos∠APB=(AP^2+BP^2-AB^2)/2AP*BP
变形得 AP*BP*cos∠APB=AP^2+BP^2-AB^2
所以AP·BP= -AP*BP*cos∠APB【注意负号】
=AB^2-AP^2-BP^2
=-2x^2+12x-10
解得x=1 或 x=6
带入上面的式子 得cos∠APB=0
所以∠APB=90°