设函数f（x）连续且恒大于零，F（t）=∫∫∫Ω(t)f(x2+y2+z2)dv∫∫D(t)f(x2+y2)dσ，G（x）=∫∫D(t)f(x2+y2)dσ∫t−tf(x2)dx，其中Ω（t）={（x，y，z）|x2+y2+z2≤t2}，D（t）={（x，y）|x2+y2≤t2}．（1）讨论F

Question

设函数f（x）连续且恒大于零，F（t）=(∫∫∫Ω(t)f(x2+y2+z2)dv)/(∫∫D(t)f(x2+y2)dσ)，G（x）=(∫∫D(t)f(x2+y2)dσ)/(∫t−tf(x2)dx)，其中Ω（t）={（x，y，z）|x²+y²+z²≤t²}，D（t）={（x，y）|x²+y²≤t²}．
（1）讨论F（t）在区间（0，+∞）内的单调性；
（2）证明当t＞0时，F（t）＞(2)/(π)G（t）．

Answer 1

（1）因为F(t)＝(∫2π0dθ∫π0dϕ∫t0f(r2)r2sinϕdr)/(∫2π0dθ∫t0f(r2)rdr)＝(2∫t0f(r2)r2dr)/(∫t0f(r2)rdr)，
F′(t)＝2(tf(t2)∫t0f(r2)r(t−r)dr)/([∫t0f(r2)rdr]2)，
显然有：
t≥0，f（t²）＞0；t-r≥0，f（r²）＞0；
所以：
tf（t²）

∫

t 0

f（r²）（t-r）dr≥0．
因此：
在（0，+∞）上F'（t）≥0，
故F（t） 在（0，+∞）内单调不减．
（2）因为：
G(t)＝(π∫t0f(r2)rdr)/(∫t0f(r2)dr)，
要证明t＞0时
F(t)＞(2)/(π)G(t)，只需证明t＞0时，
F(t)−(2)/(π)G(t)＞0，
即

∫

t 0

f(r2)r2dr

∫

t 0

f(r2)dr−[

∫

t 0

f(r2)rdr]2＞0．
令    g(t)＝

∫

t 0

f(r2)r2dr

∫

t 相关问答 函数y=f(x)的“零点”是什么意思? 证明一个函数处处可导设f（x）满足：1.f(x+y f(x)=a^x,(a>0,a≠1),求lim(x 设函数f（x），g（x）在区间[a．b]上连续，且 设∫f(x)dx=2^x+cosx+c,则f(x) 已知函数f（x）连续且limx→0f(x)x=2， f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4) 设函数f（x）连续，且f（0）≠0，求极限limx 1.f(x)为二次多项式,且f(2004)=1,f ∫f'(x3)dx=x3+C,则f(x)=学具体点 f'(x)=-3则limf(x+h)-f(x-3h f'(x)=-2,求limf(x+h)-f(x-h 首页　　　 语文　　　 数学　　　 英语　　　 物理　　　 化学　　　 历史　　　 政治　　　 生物　　　 其他　　　 　 Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved　版权所有 作业搜　 本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail] 湘ICP备12012010号