设f（x）在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件|f（x）|≤a，|f″（x）|≤b，其中a，b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点．证明|f′（c）|≤2a+b2．

Question

设f（x）在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件|f（x）|≤a，|f″（x）|≤b，其中a，b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点．证明|f′（c）|≤2a+(b)/(2)．

Answer 1

将f（x）在x=c处利用泰勒公式二阶展开，可得：
f（x）=f（c）+f′（c）（x-c）+(f″(ξ))/(2!)(x−c)2，（*）
其中 ξ 在x与c之间，
于是：
（1）在（*）中，令x=0，则有：
f（0）=f（c）+f′（c）（0-c）+(f″(ξ1))/(2!)(0−c)2，①
其中，0＜ξ₁＜c＜1．
（2）在（*）中，令x=1，则有
f（1）=f（c）+f′（c）（1-c）+(f″(ξ2))/(2!)(1−c)2，②
其中，c＜ξ₂＜1．
②-①，可得：
f（1）-f（0）=f′（c）+(f″(ξ2))/(2!)(1−c)2-(f″(ξ1))/(2!)(0−c)2，
所以：
|f′（c）|=|f（1）-f（0）-(f″(ξ2))/(2!)(1−c)2+(f″(ξ1))/(2!)(0−c)2|
≤|f（1）|+|f（0）|+(1)/(2)|f″（ξ₂）|（1-c）²+(1)/(2)|f″（ξ₁）|c²
≤a+a+(b)/(2)[(1−c)2+c2]．
又因为当c∈（0，1）时，
（1-c）²+c²=2c²-2c+1=2(c−(1)/(2))2+(1)/(2)≤1，
所以，
|f′（c）|≤2a+(b)/(2)．