高等数学求最大值证明题当x>0时,证明x>ln(1+x)>x-x^2/2关键是ln(1+x)的二阶导数我求出来是小于0,但是一阶导数让它等于0时无意义,求不出最小值来.郁闷了,也证明不了后面的不等式了

Question

高等数学求最大值证明题
当x>0时,证明x>ln(1+x)>x-x^2/2
关键是ln(1+x)的二阶导数我求出来是小于0,但是一阶导数让它等于0时无意义,求不出最小值来.郁闷了,也证明不了后面的不等式了

Answer 1

设f(x) = x - ln(1+x)
df/dx = 1 - 1/(1+x)
= x/(1+x) > 0
∴ f(x)是增函数
∵ f(0)=0
∴ x > ln(1+x)
说明：f(x)是增函数表示x与ln(1+x)的差值越来越大,只是在开始时,差距为0,所以,当x>0,f(x)>ln(1+n).
设g(x)=ln(1+x) - (x - x²/2)
dg/dx = 1/(1+x) - 1 + x
= 1/(1+x) - (1 - x)
= x²/(1+x) > 0
∴g(x)也是增函数
∵g(0)=0
∴ln(1+x) > x - x²/2
∴ x > ln(1+x) > x - x²/2 成立.