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已知函数f（x）=lnx-mx2，g（x）=12mx2+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当m=12时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=-2

题目详情

已知函数f（x）=lnx-mx²，g（x）=

mx2+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当m=

时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，求整数m的最小值；
（Ⅲ）若m=-2，正实数x₁，x₂满足F（x₁）+F（x₂）+x₁x₂=0，证明：x₁+x₂≥

-1

．

▼优质解答

答案和解析

（1）f(x)=lnx-

x2，x>0，f′(x)=

-x=

1-x2

，(x>0)．
由f′（x）>0得1-x²>0又x>0，所以0<x<1．所以f（x）的单增区间为（0，1）．
（2）令G(x)=F(x)-(mx-1)=lnx-

mx2+(1-m)x+1．
所以G′(x)=

-mx+(1-m)=

-mx2+(1-m)x+1

．
当m≤0时，因为x>0，所以G′（x）>0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，
又因为G（1）=-

m+2>0．
所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立．
当m>0时，G′(x)=-

m(x-

)(x+1)

．
令G′（x）=0得x=

，所以当x∈(0，

)时，G′（x）>0；当x∈(

，+∞)时，G′（x）<0．
因此函数G（x）在x∈(0，

)是增函数，在x∈(

，+∞)是减函数．
故函数G（x）的最大值为G(

-lnm．
令h（m）=

-lnm，因为h（1）=

>0，h（2）=

-ln2<0．
又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）<0．
所以整数m的最小值为2．
（3）当m=-2时，F（x）=lnx+x²+x，x>0．
由F（x₁）+F（x₂）+x₁x₂=0，即lnx₁+x₁²+x₁+lnx₂+x₂²+x₂+x₁x₂=0．
化简得(x1+x2)2+(x1+x2)=x1•x2-ln(x1x2)．
令t=x₁x₂，则由φ（t）=t-lnt得φ′（t）=

t-1

．
可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1．
所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1，即x1+x2≥