设函数f(x)在闭区间[0,A]上连续,且f(0)=0.如果f'(x)存在且为增函数（x属于[0,A]）.试证：函数F（x）=f(x)/x也是增函数.

Question

设函数f(x)在闭区间[0,A]上连续,且f(0)=0.如果f'(x)存在且为增函数（x属于[0,A]）.试证：函数F（x）=f(x)/x也是增函数.

Answer 1

F(x)=f(x)/x
F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2
因为x^2>0
所以要证F(x)为增函数
只需证xf'(x)-f(x)>0
由微分中值定理,任取x属于(0,A),存在e属于(0,x),使得
[f(x)-f(0)]/x=f'(e)
所以
xf'(x)-f(x)=xf'(x)-[f(x)-f(0)]=xf'(x)-xf'(e)
因为f'(x)为增函数
所以xf'(x)-xf'(e)>0
所以F'(x)>0
所以F(x)是增函数