△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．（1）如图1，当∠BAC为锐角时，①求证：BE⊥AC；②求∠BEH的度数；（2）当

Question

△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．
（1）如图1，当∠BAC为锐角时，
①求证：BE⊥AC；
②求∠BEH的度数；
（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．

Answer 1

（1）①证明：∵AH⊥BC于点H，∠ABC=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH=BH，∠BAH=45°，
∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD，
由旋转性质得，△BHD≌△AHC，
∴∠1=∠2．                                 
∵∠1+∠C=90°，
∴∠2+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．                    
②如图1，
∵∠AHB=∠AEB=90°，
∴A，B，H，E四点均在以AB为直径的圆上，
∴∠BEH=∠BAH=45°，
（2） 补全图2，如图2；                                 
EC-ED=√(2)EH，
过H作HF⊥EH交CE于F，
由旋转的性质得：∠D=∠C，HD=CH，∠CHD=90°，
∴∠EHD=∠CHF，
在△DEH与△CFH中，

∠D=∠C

DH=CH

∠EHD=∠FHC

，
∴△DEH≌△CFH，
∴CF=DE，HF=EH，
∴EF=√(2)EH，
∴CE-EF=CE-√(2)EH=CF=DE，
∴EC-ED=√(2)EH．