利用三重积分计算z=a+√(a^2-x^2-y^2)及x^2+y^2=z^2计算围成的体积

Question

利用三重积分计算z=a+√(a^2-x^2-y^2)及x^2+y^2=z^2
计算围成的体积

Answer 1

z=a+√(a^2-x^2-y^2)是以(0,0,a)为 球心,半径为a的半球的上半部,
x^2+y^2=z^2是一个以原点为顶点上下对顶的圆锥面,
所围成的立体为下部为锥面,上部为半球面的组合体,结合部是一个半径为a的圆,
在XOY平面投影为:x^2+y^2=a^2,
化成柱面坐标,积分区域Ω为:0≤θ≤2π,0≤r≤a, r≤z≤a+√(a^2-r^2),
考虑对称性,只算下一个卦限,再乘以4即可.
V=∫∫∫[Ω]rdθdrdz
=4∫[0,π/2] dθ ∫[0,a]rdr∫[r,a+√(a^2-r^2)]dz
=4∫[0,π/2] dθ ∫[0,a][a+√(a^2-r^2)-r]rdr
=4∫[0,π/2] dθ [ar^2/2-r^3/6-(a^2-r^2)^(3/2)/3] [0,a]
=4∫[0,π/2] dθ [a^3/2-a^3/6-(-a^2)^(3/2)/3]
=4∫[0,π/2](a^3/2) dθ 
=πa^3.
这和平时运算结果相同,下半部分为圆锥底半径为a,高为a,体积为πa^3/3,
上半部为半球,2πa^3/3,
总体积=πa^3/3+2πa^3/3=πa^3.