求∫(y^2+z^2)dx+(x^2+y^2)dy+(x^2+y^2)dz沿C的线积分求∫(y^2+z^2)dx+(x^2+z^2)dy+(x^2+y^2)dz沿C的线积分C是半球x^2+y^2+z^2=2ax,z>0和圆柱x^2+y^2=2bx,0

Question

求∫(y^2+z^2)dx+(x^2+y^2)dy+(x^2+y^2)dz沿C的线积分
求∫(y^2+z^2)dx+(x^2+z^2)dy+(x^2+y^2)dz沿C的线积分
C是半球x^2+y^2+z^2=2ax,z>0和圆柱x^2+y^2=2bx,0

Answer 1

如图,红色曲线为积分曲线.
将x=2b,y=0代入半球方程可得z=2[b(b-a)]^(1/2),
于是可得交线最高点为（2b,0,2[b(b-a)]^(1/2)）.
下面开始积分：
曲线积分∫c(y^2+z^2)dx+(x^2+y^2)dy+(x^2+y^2)dz=∫c(y^2+z^2)dx+∫c (x^2+y^2)dy+∫c (x^2+y^2)dz
其中第一个积分∫c(y^2+z^2)dx=





第二个积分∫c(x^2+y^2)dy=





第三个积分∫c(x^2+y^2)dz=∫c2bxdz（因为x^2+y^2=2bx）


综上所述,∫(y^2+z^2)dx+(x^2+z^2)dy+(x^2+y^2)dz沿C的线积分为8ab^2.