设z=f（x2-y2，exy），其中f具有连续二阶偏导数，求∂z∂x，∂z∂y，∂2z∂x∂y．

Question

设z=f（x²-y²，e^xy），其中f具有连续二阶偏导数，求(∂z)/(∂x) ， (∂z)/(∂y) ， (∂2z)/(∂x∂y)．

Answer 1

设u=x²-y²，v=e^xy，则z=f（u，v）
因此
(∂z)/(∂x)＝(∂f)/(∂u)(∂u)/(∂x)+(∂f)/(∂v)(∂v)/(∂x)=2xf1′+yexyf2′
(∂z)/(∂y)＝(∂f)/(∂u)(∂u)/(∂y)+(∂f)/(∂v)(∂v)/(∂y)＝−2yf1′+xexyf2′
∴(∂2z)/(∂x∂y)＝(∂)/(∂y)(2xf1′+yexyf2′)=2x(∂f1′)/(∂y)+exyf2′+xyexyf2′+yexy(∂f2′)/(∂y)
=2xf11″•(−2y)+2xf12″•(xexy)+exyf2′+xye^xyf₂'+yexy[f21″•(−2y)+f22″•(xexy)]
=−4xyf11″+2(x2−y2)exyf12″+xye2xyf22″+(1+xy)e^xyf₂′