∫x/(3+4x+x^2)^1/2dx

Question

∫x/(3+4x+x^2)^1/2dx

Answer 1

∫［x/√（3＋4x＋x^2）］dx
＝∫｛x/√［（x^2＋4x＋4）－1］｝dx
＝∫｛x/√［（x＋2）^2－1］｝dx
＝∫｛［（x＋2）－2］/√［（x＋2）^2－1］｝d（x＋2）.
令x＋2＝1/sinu,则：d（x＋2）＝［cosu/（sinu）^2］du,
∴∫［x/√（3＋4x＋x^2）］dx
＝∫｛（1/sinu－2）/√［1/（sinu）^2－1］｝［cosu/（sinu）^2］du
＝∫［（1/sinu－2）/（cosu/sinu）］［cosu/（sinu）^2］du
＝∫［（1/sinu－2）/sinu］du
＝∫［（1－2sinu）/（sinu）^2］du
＝∫［1/（sinu）^2］du＋2∫［1/（sinu）^2］d（cosu）
＝－cotu＋2∫｛1/［（1－cosu）（1＋cosu）］｝d（cosu）
＝－cosu/sinu＋∫｛（1－cosu＋1＋cosu）/［（1－cosu）（1＋cosu）］｝d（cosu）
＝－cosu/sinu＋∫［1/（1＋cosu）］d（cosu）＋∫［1/（1－cosu）］d（cosu）
＝－（x＋2）√［1－（sinu）^2］＋ln｜1＋cosu｜－ln｜1－cosu｜＋C
＝－（x＋2）√［1－1/（x＋2）^2］＋ln｜（1＋cosu）/（1－cosu）｜＋C
＝－√［（x＋2）^2－1］＋ln｜（1＋cosu）^2/［1－（cosu）^2］｜＋C
＝－√（x^2＋4x＋3）＋ln｜（1＋cosu）^2/（sinu）^2｜＋C
＝－√（x^2＋4x＋3）＋2ln｜（1＋cosu）/sinu｜＋C
＝－√（x^2＋4x＋3）＋2ln｜｛1＋√［1－（sinu）^2］｝（x＋2）｜＋C
＝－√（x^2＋4x＋3）＋2ln｜（x＋2）＋（x＋2）√［1－1/（x＋2）^2］｜＋C
＝2ln｜x＋2＋√（x^2＋4x＋3）｜－√（x^2＋4x＋3）＋C.