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（2014•福建模拟）已知f（x）=aln（x+1）+1x+1+3x-1．（1）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：24×12−1+34×22−1+44×32−1+…+n+14×n2−1＞14ln（2n+1）对一切正整数n均成立

题目详情

（2014•福建模拟）已知f（x）=aln（x+1）+

x+1

+3x-1．
（1）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：

4×12−1

4×22−1

4×32−1

+…+

n+1

4×n2−1

＞

ln（2n+1）对一切正整数n均成立．

▼优质解答

答案和解析

（1）f′(x)＝

x+1

−

(x+1)2

+3＝

3(x+1)2+a(x+1)−1

(x+1)2

＝

3x2+(a+6)x+a+2

(x+1)2

．
若a≥-2，则a+6＞0，x＞0时，f'（x）＞0．此时，f（x）在区间[0，+∞）上为增函数．
∴x≥0时，f（x）≥f（0）=0．a≥-2符合要求．
若a＜-2，则方程3x²+（a+6）x+a+2=0有两个异号的实根，设这两个实根为x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂．
∴0＜x＜x₂时，f'（x）＜0．f（x）在区间[0，x₂]上为减函数，f（x₂）＜f（0）=0．
∴a＜-2不符合要求．
∴a的取值范围为[-2，+∞）．
（2）证明：由（1）知，x＞0时，不等式−2ln(x+1)+

x+1

+3x−1＞0恒成立．
∴x＞0时，

x+1

+3x−1＞2ln(x+1)恒成立．
令x＝

2k−1

（k∈N^*），得

2k−1

+3×

2k−1

−1＞2ln(

2k−1

+1)，
整理得

8k+8

4k2−1

＞2ln

2k+1

2k−1

．
∴

k+1

4k2−1

＞

2k+1

2k−1

．令k=1，2，3，…，n，得

4×12−1

＞

，

4×22−1

＞

，

4×32−1

＞

，…，

n+1

4×n2−1

＞

2n+1

2n−1

．
将上述n个不等式的左右两边分别相加，得