已知函数f（x）=x|x-a|，x∈[0，1]，该函数的最大值是a24，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x|x-a|，x∈[0，1]，该函数的最大值是(a2)/(4)，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）若a≤0，则当x∈[0，1]时，去绝对值可得f（x）=x（x-a），
可得f（x）在x∈[0，1]单调递增，故最大值为f（1）=1-a=(a2)/(4)，
解得a=-2-2√(2)，或-2+2√(2)，∵a≤0，∴a=-2-2√(2)；
（2）若0＜a≤1，则当x∈[0，a]时，f（x）=-x（x-a），
当x∈（a，1]时，f（x）=x（x-a），
f（(a)/(2)）=(a2)/(4)，f（1）=1-a，结合0＜a≤1可得(a2)/(4)＞1-a，
∴函数的最大值为f（(a)/(2)）=(a2)/(4)，符合题意；
（3）若a＞1，则当x∈[0，1]时，f（x）=-x（x-a），当a≤2时，
函数最大值为f（(a)/(2)）=(a2)/(4)，符合题意，
当a＞2时，最大值为f（1）=1-a，不符合题意．
综上可得a的取值范围为：a=-2-2√(2)，或0＜a≤2