设f（x）=ax2+b（a＞0，b＞0），对任意x、y都有f（xy）+f（x+y）≥f（x）•f（y），求点P（a，b）所在区域的面积．

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设f（x）=ax²+b（a＞0，b＞0），对任意x、y都有f（xy）+f（x+y）≥f（x）•f（y），求点P（a，b）所在区域的面积．

▼优质解答

答案和解析

已知条件可转化为：对任意实数x，y，
有（ax²y²+b）+[a（x+y）²+b]≥（ax²+b）（ay²+b），①
先寻找a，b所满足的必要条件，
在①式中，令y=0，得b+（ax²+b）≥（ax²+b）•b，
即对任意实数x，y，有（1-b）ax²+b（2-b）≥0，
由于a＞0，故ax²能取到任意大的正值，
因此必有1-b≥0，即0＜b≤1．
在①式中再令y=-x，得（ax⁴+b）+b≥（ax²+b）²，
即对任意实数x，有（a-a²）x⁴-2abx²+（2b-b²）≥0，②
将②式的左边记为g（x），由题意，得a-a²≠0，
（否则，由a＞0知a=1，此时g（x）=-2bx²+（2b-b²），其中b＞0，故g（x）可取到负值，矛盾），
于是g（x）=（a-a²）（x²-

a−a2

）²-

(ab)2

a−a2

+（2b-b²）
=（a-a²）（x²-

1−a

）²+

1−a

（2-2a-b）≥0

对一切实数成立，从而必有a-a²＞0，即0＜a＜1，
进一步，考虑到此时

1−a

＞0，
再根据g（

1−a

）=

1−a

(2−2a−b)≥0，
得2a+b≤2，
所以，a，b满足和必要条件为0＜b≤1，0＜a＜1，2a+b≤2．③
下面证明，对满足③的任意实数对（a，b）以及任意的实数x，y，
总有①成立，
即对任意x，y取非负值，
事实上，在③成立时，有a（1-b）≥0，a-a²＞0，

1−a

(2−2a−b)≥0，
再结合x²+y²≥-2xy，
得h（x，y）≥（a-a²）x²y²+a（1-b）（-2xy）+2axy+（2b-b²）
=（a-a²）x²y²+2abxy+（2b-b²）
=（a-a²）（xy+

1−a

）²+

1−a

（2-2a-b）≥0．
综上所述，所求的正实数对（a，b）全体为：
{（a，b）|

0＜b≤1

0＜a＜1

2a+b≤2

}，
作出可行域，得点P（a，b）所在区域为梯形OABC，
由OA=1，BC=