用多元微分法求xoy面上椭圆x^2+2xy+5y^2-16y=0到直线x+y-8=0的最短距离.

Question

用多元微分法求xoy面上椭圆x^2+2xy+5y^2-16y=0到直线x+y-8=0的最短距离.

Answer 1

考虑距离的平方,即f(x,y,λ)=(x+y-8)^2/2-λ(x^2+2xy+5y^2-16y)
要使f(x,y)取极值,则：
af/ax=(x+y-8)-λ(2x+2y)=0 (1)
af/ay=(x+y-8)-λ(2x+10y-16)=0 (2)
af/aλ=x^2+2xy+5y^2-16y=0 (3)
然后就是解方程组.
(1)-(2)得：λ(y-2)=0
如果y=2,则代入(3)得x=2或-6,进一步得λ=-1/2或3/2（其实根本没必要算λ）.计算得f(2,2,-1/2)=8,f(2,-6,3/2)=72
如果λ=0,则x+y-8=0,与(3)联立得y^2-4y+16=0,无解
综上,f(x,y,λ)min=f(2,2,-1/2)=8
所以dmin=2√2