设总体X的概率密度函数为f（x，λ）=12λe−|x|λ，（-∞＜x＜+∞），其中λ＞0．X1，X2，…，Xn是总体X的一个容量为n的样本．（Ⅰ）求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量；（

Question

设总体X的概率密度函数为f（x，λ）=(1)/(2λ)e−(|x|)/(λ)，（-∞＜x＜+∞），其中λ＞0．X₁，X₂，…，X_n是总体X的一个容量为n的样本．
（Ⅰ）求参数λ的矩估计量；
（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量；
（Ⅲ）说明由最大似然估计法所得λ的估计量是否为无偏估计量．

Answer 1

（I）
μ1＝E(X)＝

∫

+∞ −∞

x•(1)/(2λ)e−(|x|)/(λ)dx＝0，
μ2＝E(X2)＝

∫

+∞ −∞

x2•(1)/(2λ)e−(|x|)/(λ)dx＝2

∫

+∞ 0

x2•(1)/(2λ)e−(x)/(λ)dx＝2λ2，
所以：

̂

μ

2＝(1)/(n)

n

i＝1

X

2 i

＝2

̂

λ

2，
从而可得：

̂

λ

2＝√((1)/(2n)ni＝1X2i)．

（II）
lnL(X1，X2，…，Xn，λ)＝−nln2λ−(ni＝1|Xi|)/(λ)，
由：(dlnL)/(dλ)＝−(n)/(λ)+(1)/(λ2)

n

i＝1

|Xi|＝0，
得：

̂

λ

＝(1)/(n)

n

i＝1

|Xi|．

（III）
因为：
E(|X|)═

∫

+∞ −∞

|x|•(1)/(2λ)e−(|x|)/(λ)dx＝2

∫

+∞ 0

x•(1)/(2λ)e−(x)/(λ)dx＝λ，
所以：E((1)/(n)

n

i＝1

|Xi|)＝(1)/(n)E(

n

i＝1

|Xi|)＝(1)/(n)•nλ＝λ，
因此：

̂

λ

＝(1)/(n)

n

i＝1

|Xi|是λ的无偏估计量．