线性代数矩阵证明题1个求详解设矩阵A=|x-1000x-1000x-1a4a3a2x+a1,证明|A|=x^4+a1^x3+a2x^2+a3x+a4

Question

线性代数矩阵证明题1个 求详解
设矩阵 A= | x -1 0 0
0 x -1 0
0 0 x -1
a4 a3 a2 x+a1 ,证明 |A|=x^4+a1^x3+a2x^2+a3x+a4

Answer 1

将|A|按照最后一行展开,a4的代数余子式是(-1)^(1+4)×
|-1 0 0|
|x -1 0|
|0 x -1|
=1.
a3的代数余子式是(-1)^(2+4)×
|x 0 0|
|0 -1 0|
|0 x -1|
=x.
a2的代数余子式是(-1)^(3+4)×
|x -1 0|
|0 x 0|
|0 0 -1|
=x^2.
x+a1的代数余子式是(-1)^(4+4)×
|x -1 0|
|0 x -1|
|0 0 x|
=x^3.
所以|A|=a4×1+a3×x+a2×x^2+(x+a1)×x^3=x^4+a1x^3+a2x^2+a3x+a4.