若二次型f=(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+2x1x2+2ax1x3+2bx2x3.有额外加分,若二次型f=(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+2x1x2+2ax1x3+2bx2x3经正交变换后可变为标准型(y2)^2+2(y3)^2,求a,b.

Question

若二次型f=(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+2x1x2+2ax1x3+2bx2x3.有额外加分,
若二次型f=(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+2x1x2+2ax1x3+2bx2x3经正交变换后可变为标准型(y2)^2+2(y3)^2,求a,b.

Answer 1

解:f的矩阵A=
1 1 a
1 1 b
a b 1
由已知A的特征值为 0,1,2
因为0是A的特征值, 所以|A|=0
|A|=-(a-b)^2
所以 a=b.
因为1是A的特征值, 所以|A-E|=0
|A-E|=2a^2
所以 a=0.
故 a=b=0.