已知如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、D1分别为AC、A1C1上的点．（1）当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1？（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．

Question

已知如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D、D₁分别为AC、A₁C₁上的点．
（1）当(A1D1)/(D1C1)等于何值时，BC₁∥平面AB₁D_1？
（2）若平面BC₁D∥平面AB₁D₁，求(AD)/(DC)的值．

Answer 1

（1）如图，取D₁为线段A₁C₁的中点，此时(A1D1)/(D1C1)=1，
连接A₁B交AB₁于点O，连接OD₁．
由棱柱的性质，知四边形A₁ABB₁为平行四边形，所以点O为A₁B的中点．
在△A₁BC₁中，点O、D₁分别为A₁B、A₁C₁的中点，
∴OD₁∥BC₁．
又∵OD₁⊂平面AB₁D₁，BC₁⊄平面AB₁D₁，
∴BC₁∥平面AB₁D₁．
∴(A1D1)/(D1C1)=1时，BC₁∥平面AB₁D₁，

（2）由已知，平面BC₁D∥平面AB₁D₁
且平面A₁BC₁∩平面BDC₁=BC₁，
平面A₁BC₁∩平面AB₁D₁=D₁O．
因此BC₁∥D₁O，同理AD₁∥DC₁．
∴(A1D1)/(D1C1)=(A1O)/(OB)，(A1D1)/(D1C1)=(DC)/(AD)．
又∵(A1O)/(OB)=1，
∴(DC)/(AD)=1，即(AD)/(DC)=1．