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如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1;(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
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如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1;(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:
∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,∴四边形B1BCC1是矩形.
连接B1C交BC1于E,则B1E=EC.连接DE.
在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1.
又AB1⊈平面DBC1,DE⊂平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1.
(2)作DF⊥BC,垂足为F,
则DF⊥面B1BCC1,连接EF,
则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.
∵AB1⊥BC1,
由(1)知AB1∥DE,∴DE⊥BC1,则BC1⊥EF,∴∠DEF是二面角α的平面角.
设AC=1,则DC=
.∵△ABC是正三角形,∴在Rt△DCF中,
DF=DC•sinC=
,CF=DC•cosC=
.取BC中点G.∵EB=EC,∴EG⊥BC.
在Rt△BEF中,
EF2=BF•GF,又BF=BC-FC=
,GF=
,
∴EF2=
•
,即EF=
.∴tan∠DEF=
=
=1.∴∠DEF=45°.
故二面角α为45°.
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∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,∴四边形B1BCC1是矩形.
连接B1C交BC1于E,则B1E=EC.连接DE.
在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1.
又AB1⊈平面DBC1,DE⊂平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1.
(2)作DF⊥BC,垂足为F,
则DF⊥面B1BCC1,连接EF,
则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.
∵AB1⊥BC1,
由(1)知AB1∥DE,∴DE⊥BC1,则BC1⊥EF,∴∠DEF是二面角α的平面角.
设AC=1,则DC=
1 |
2 |
DF=DC•sinC=
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4 |
1 |
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在Rt△BEF中,
EF2=BF•GF,又BF=BC-FC=
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∴EF2=
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DF |
EF |
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故二面角α为45°.
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