已知等腰△ABC,∠A=100,∠ABC的平分线交AC于D,求证BD+AD=BC

Question

已知等腰△ABC,∠A=100,∠ABC的平分线交AC于D,求证BD+AD=BC

Answer 1

证明：在线段BC上取点E、F,分别使得BE=AB,BF=BD
则在等腰三角形中,∠ABC=100°,∠ABC=∠ACB=40°
又∠ABC的平分线是BD,则∠ABD=∠DBC=20°
因为BD是公共边,且BE=AB
所以△ABD≌△EBD (SAS)
则AD=DE (1)
且∠BED=∠BAD=100°
所以∠DEF=180°-∠BED=80°
在△BDF中,BD=BF,∠DBF=20°
则∠BDF=∠BFD=80°
所以∠BFD＝∠DEF
则DF=DE (2)
又在△DFC中,外角∠BFD=80°=∠BCD+∠CDF,且∠BCD＝40°
则∠BCD＝∠CDF＝40°
可得DF=FC (3)
所以由(1)(2)(3)式可知FC=AD
又BF=BD
所以BD+AD=BF+FC=BC
命题得证