（2014•黄石）如图，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10．（1）求F点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这

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（2014•黄石）如图，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10．
（1）求F点的坐标；
（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点O，F，且直线y=6x-36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；
（3）直线y=k（x-3）-

与（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，-

），求证：

为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M，N两点间的距离为|MN|=

(x2−x1)2+(y2−y1)2

）

▼优质解答

答案和解析

（1）由折叠的性质得到：△ADE≌△AFE，则AF=AD．
又∵AD=10，AO=8，
∴OF＝

AF2−OA2

＝

102−82

＝6，
∴F（6，0）；

（2）依题意可设过点O、F的抛物线解析式为y=a（x-0）（x-6），即y=ax（x-6）（a≠0）．
依题意知，抛物线与直线y=6x-36相切，
∴

y＝ax(x−6)

y＝6x−36

，
∴ax²-（6a+6）x+36=0 有两个相等的实数根，
∴△=（6a+6）²-4a×36=0，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为 y=x²-6x；

（3）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），假设x₁＞3，x₂＜3．
依题意得

y＝k(x−3)−

y＝x2−6x

，
得 x2−(6+k)x+3k+

＝0，
∴x₁+x₂=6+k，x1•x2＝3k+

．
∵