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如图,在△ABC中,AB=AC(1)P为BC上的中点,求证:AB2-AP2=PB•PC;(2)若P为BC上的任意一点,(1)中的结论是否成立,并证明;(3)若P为BC延长线上一点,说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系
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如图,在△ABC中,AB=AC
(1)P为BC上的中点,求证:AB2-AP2=PB•PC;
(2)若P为BC上的任意一点,(1)中的结论是否成立,并证明;
(3)若P为BC延长线上一点,说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系.
(1)P为BC上的中点,求证:AB2-AP2=PB•PC;
(2)若P为BC上的任意一点,(1)中的结论是否成立,并证明;
(3)若P为BC延长线上一点,说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如右图所示,连接AP,
∵AB=AC,P是BC中点,
∴AP⊥BC,BP=CP,
在Rt△ABP中,AB2=BP2+AP2,
∴AB2-AP2=BP2,
又∵BP=CP,
∴BP•CP=BP2,
∴AB2-AP2=BP•CP;
(2)成立.
如右图所示,连接AP,作AD⊥BC,交BC于D,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
同理,AP2=AD2+DP2,
∴AB2-AP2=AD2+BD2-(AD2+DP2)=BD2-DP2,
又∵BP=BD+DP,CP=CD-DP=BD-DP,
∴BP•CP=(BD+DP)(BD-DP)=BD2-DP2,
∴AB2-AP2=BP•CP;
(3)AP2-AB2=BP•CP.
如右图,P是BC延长线任一点,连接AP,并做AD⊥BC,交BC于D,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
在Rt△ADP中,AP2=AD2+DP2,
∴AP2-AB2=(AD2+BD2)-(AD2+DP2)=PD2-BD2,
又∵BP=BD+DP,CP=DP-CD=DP-BD,
∴BP•CP=(BD+DP)(DP-BD)=DP2-BD2,
∴AP2-AB2=BP•CP.
∵AB=AC,P是BC中点,
∴AP⊥BC,BP=CP,
在Rt△ABP中,AB2=BP2+AP2,
∴AB2-AP2=BP2,
又∵BP=CP,
∴BP•CP=BP2,
∴AB2-AP2=BP•CP;
(2)成立.
如右图所示,连接AP,作AD⊥BC,交BC于D,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
同理,AP2=AD2+DP2,
∴AB2-AP2=AD2+BD2-(AD2+DP2)=BD2-DP2,
又∵BP=BD+DP,CP=CD-DP=BD-DP,
∴BP•CP=(BD+DP)(BD-DP)=BD2-DP2,
∴AB2-AP2=BP•CP;
(3)AP2-AB2=BP•CP.
如右图,P是BC延长线任一点,连接AP,并做AD⊥BC,交BC于D,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
在Rt△ADP中,AP2=AD2+DP2,
∴AP2-AB2=(AD2+BD2)-(AD2+DP2)=PD2-BD2,
又∵BP=BD+DP,CP=DP-CD=DP-BD,
∴BP•CP=(BD+DP)(DP-BD)=DP2-BD2,
∴AP2-AB2=BP•CP.
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