在平面直角坐标系xOy中，已知AB是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为kOM，kAB，则kOM•kAB=-b2a2．（1）类比椭圆的上述性质，给出一个在双曲线

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知AB是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为k_OM，k_AB，则k_OM•k_AB=-(b2)/(a2)．
（1）类比椭圆的上述性质，给出一个在双曲线中也成立的性质；
（2）证明（1）中的结论．

Answer 1

（1）在平面直角坐标系xOy中，已知AB是双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为k_OM，k_AB，则k_OM•k_AB=(b2)/(a2)．…（4分）
（2）证明：设A（x₁，y₁），A（x₁，y₁），M（x₀，y₀）
由

(x12)/(a2)−(y12)/(b2)＝1

(x22)/(a2)−(y22)/(b2)＝1

，得：(x12−x22)/(a2)−(y12−y22)/(b2)＝0，（6分）
∴((x1+x2)(x1−x2))/(a2)−((y1+y2)(y1−y2))/(b2)=0，
∵M（x₀，y₀）为AB的中点
∴x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，（9分）
∴(2x0(x1−x2))/(a2)−(2y0(y1−y2))/(b2)=0，
∴k_AB=(y1−y2)/(x1−x2)=(b2x0)/(a2y0)，（11分）
∵k_OM=(y0)/(x0)，（13分）
∴k_OM•k_AB=(b2)/(a2)．（16分）