已知在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，设O是△ABC的内心，若AO=mAB+nAC，则m：n=（）A．5：3B．4：3C．2：3D．3：4

Question

已知在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，设O是△ABC的内心，若

AO

=m

AB

+n

AC

，则m：n=（　　）

A．5：3
B．4：3
C．2：3
D．3：4

Answer 1

如图所示，
设三角形的三条内角平分线BD、AE、CF相交于点O．
∵B，O，D三点共线，
∴存在实数λ使得

AO

＝λ

AD

+(1−λ)

AB

，
∵AB=BC=3，O是△ABC的内心，
∴BD平分AC，
∴

AD

＝(1)/(2)

AC

．
∴

AO

＝(1−λ)

AB

+(1)/(2)λ

AC

，
同理由C，O，F三点共线和角平分线的性质可得

AO

=(4)/(7)μ

AB

+(1−μ)

AC

，
∴

1−λ＝(4)/(7)μ

(1)/(2)λ＝1−μ

，解得

μ＝(7)/(10)

λ＝(3)/(5)

∴

AO

＝(2)/(5)

AB

+(3)/(10)

AC

与

AO

=m

AB

+n

AC

比较可得：m=(2)/(5)，n＝(3)/(10)，
则m：n=4：3．
故选：B．