（2014•威海）猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展

Question

（2014•威海）猜想与证明：
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为______．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．

Answer 1

猜想：DM=ME
证明：如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，

∠EFM＝∠HAM

FM＝AM

∠FME＝∠AMH

∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．

（1）如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是正方形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，

∠EFM＝∠HAM

FM＝AM

∠FME＝∠AMH

∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
∵四边形ABCD和CEFG是正方形，
∴AD=CD，CE=CF，
∵△FME≌△AMH，
∴EF=AH，
∴DH=DE，
∴△DEH是等腰直角三角形，
又∵MH=ME，
∴DM⊥ME．
故答案为：DM=ME且DM⊥ME．

（2）如图2，连接AE，

∵四边形ABCD和ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一条直线上，
在Rt△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，∠MDA=∠MAD，
∴∠DME=2∠DAM．
在Rt△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME，
∴DM=ME．
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠FME=2∠MAE，
易证△ADM≌△AEM，则∠DAM=∠EAM，
∴∠DME=2∠DAM=90°，
即DM⊥ME．
综上所述，DM=ME且DM⊥ME．