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(2014•兰州)如图,抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(-1,0),C(0,2).(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存

题目详情
(2014•兰州)如图,抛物线y=-
1
2
x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(-1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=-
1
2
x2+mx+n经过A(-1,0),C(0,2).
解得:
m=
3
2
n=2

∴抛物线的解析式为:y=-
1
2
x2+
3
2
x+2;

(2)∵y=-
1
2
x2+
3
2
x+2,
∴y=-
1
2
(x-
3
2
2+
25
8

∴抛物线的对称轴是x=
3
2

∴OD=
3
2

∵C(0,2),
∴OC=2.
在Rt△OCD中,由勾股定理,得
CD=
5
2

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形,
∴CP1=DP2=DP3=CD.
作CH⊥x对称轴于H,
∴HP1=HD=2,
∴DP1=4.
∴P1
3
2
,4),P2
3
2
5
2
),P3
3
2
,-
5
2
);

(3)当y=0时,0=-
1
2
x2+
3
2
x+2
∴x1=-1,x2=4,
∴B(4,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象,得
2=b
0=4k+b

解得:
k=−
1
2
b=2

∴直线BC的解析式为:y=-
1
2
x+2.
如图2,过点C作CM⊥EF于M,设E(a,-
1
2
a+2),F(a,-
1
2
a2+
3
2
a+2),
∴EF=-
1
2
a2+
3
2
a+2-(-
1
2
a+2)=-
1
2
a2+2a(0≤x≤4).
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=
1
2
BD•OC+
1
2
EF•CM+
1
2
EF•BN,
=
1
2
×
5
2
×2+
1
2
a(-
1
2
a2+2a)+
1
2
(4-a)(-
1
2
a2+2a),
=-a2+4a+
5
2
(0≤x≤4).
=-(a-2)2+
13
2

∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=
13
2

∴E(2,1).