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如图,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界,其中区城③④位于直线AB上方),P是位于以上四个区域上点,猜想:∠PEB、∠PFC、
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如图,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界,其中区城③④位于直线AB上方),P是位于以上四个区域上点,猜想:∠PEB、∠PFC、∠EPF的关系(不要求证明).
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答案和解析
如图1,当点P在①区域时,
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠CFE=180°,
∴∠PEF+∠PFE=(∠PEB+∠PFC)-180°.
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°,
∴∠EPF=180°-(∠PEF+∠PFE)=180°-(∠PEB+∠PFC)+180°=360°-(∠PEB+∠PFC);
当点P在区域②时,如图2所示,
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠CFE=180°,
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°,
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC;
如图3所示,当点P在区域③时,
∵AB∥CD,
∴∠PFC=∠PHB.
∵∠PEH++PEB=180°,
∴∠PEH=180°-∠PEB.
∵∠EPF+∠PEH+∠PHB=180°,即∠EPF+(180°-∠PEB)+∠PFC=180°,
∴∠PEB=∠EPF+∠PFC;
如图4所示,
∵AB∥CD,
∴∠PFC=∠PHB.
∵∠PHB是△PEH的外角,
∴∠PHB=∠EPF+∠PEB,即∠PFC=∠EPF+∠PEB.
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠CFE=180°,
∴∠PEF+∠PFE=(∠PEB+∠PFC)-180°.
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°,
∴∠EPF=180°-(∠PEF+∠PFE)=180°-(∠PEB+∠PFC)+180°=360°-(∠PEB+∠PFC);
当点P在区域②时,如图2所示,
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠CFE=180°,
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°,
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC;
如图3所示,当点P在区域③时,
∵AB∥CD,
∴∠PFC=∠PHB.
∵∠PEH++PEB=180°,
∴∠PEH=180°-∠PEB.
∵∠EPF+∠PEH+∠PHB=180°,即∠EPF+(180°-∠PEB)+∠PFC=180°,
∴∠PEB=∠EPF+∠PFC;
如图4所示,
∵AB∥CD,
∴∠PFC=∠PHB.
∵∠PHB是△PEH的外角,
∴∠PHB=∠EPF+∠PEB,即∠PFC=∠EPF+∠PEB.
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