如图，AB是O的直径，C、G是O上两点，且C是弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是O的切线；（2）若OFFD=23，求证：AE=AO；（3

Question

如图，AB是 O的直径，C、G是 O上两点，且C是弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．

（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若(OF)/(FD)=(2)/(3)，求证：AE=AO；
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=2√(3)，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC=CG，
∴

AC

=

CG

，
∴∠ABC=∠CBG，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是 O的切线；

（2） ∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴(OC)/(BD)=(OF)/(DF)=(2)/(3)，
∴(OC)/(DB)=(OE)/(BE)=(2)/(3)，
∵OA=OB，
∴AE=OA=OB，
∴OC=(1)/(2)OE，
∵∠ECO=90°，
∴∠E=30°；

（3） 如图2，过A作AH⊥DE于H，
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°，
∴∠CBD=(1)/(2)∠EBD=30°，
∵CD=2√(3)，
∴BD=6，DE=6√(3)，BE=12，
∴AE=(1)/(3)BE=4，
∴AH=2，
∴EH=2√(3)，
∴DH=4√(3)，
在Rt△DAH中，AD=√(AH2+DH2)=2√(13)．