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(2010•大连二模)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,AB=kBC,点P是四边形ABCD内一点,且∠BAP=∠BCP,连接PB、PD.猜想∠ABP与∠ADP的关系,并证明.说明:如果你经过反复探索没有解决问题
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(2010•大连二模)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,AB=kBC,点P是四边形ABCD内一点,且∠BAP=∠BCP,连接PB、PD.猜想∠ABP与∠ADP的关系,并证明.
说明:如果你经过反复探索没有解决问题,可以补充条件k=1.在补充条件后,先画图,再完成上面的问题.![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532863054-9839.jpg)
说明:如果你经过反复探索没有解决问题,可以补充条件k=1.在补充条件后,先画图,再完成上面的问题.
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▼优质解答
答案和解析
结论:∠ABP=∠ADP
证明:如图1,过点P作PE∥AD交AB于E,GH∥AB交BC、AD于G、H.
∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC∥PE,AB∥CD∥GH.
∴∠PEA=∠ABC=∠PGC,∠PEB=∠BAD=∠PHD.
∵∠BAP=∠BCP,∠PEA=∠PGC,
∴△PAE∽△PCG,
∴
=
,
∵四边形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四边形,
∴AE=PH,BE=PG,DH=CG.
∴
=
.
又∵∠PEB=∠PHD,
∴△PBE∽△PDH.
∴∠ABP=∠ADP.
补充条件:k=1.
结论:∠ABP=∠ADP.
画出草图,如图2.
证明:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
∵k=1,AB=kBC∴AB=BC.
∴平行四边形ABCD是菱形.
∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠ADC,
连接AC.
∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA
∵∠BAP=∠BCP
∴∠CAP=∠ACP,∴AP=CP
∵BP=BP,∴△PAB≌△PCB
∴∠ABP=∠CBP=
∠ABC
∵AD=CD,AP=CP,DP=DP
∴△PAD≌△PCD
∴∠ADP=∠CDP=
∠ADC
∴∠ABP=∠ADP.
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证明:如图1,过点P作PE∥AD交AB于E,GH∥AB交BC、AD于G、H.
∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC∥PE,AB∥CD∥GH.
∴∠PEA=∠ABC=∠PGC,∠PEB=∠BAD=∠PHD.
∵∠BAP=∠BCP,∠PEA=∠PGC,
∴△PAE∽△PCG,
∴
PE |
PG |
AE |
CG |
∵四边形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四边形,
∴AE=PH,BE=PG,DH=CG.
∴
PE |
PH |
BE |
DH |
又∵∠PEB=∠PHD,
∴△PBE∽△PDH.
∴∠ABP=∠ADP.
补充条件:k=1.
结论:∠ABP=∠ADP.
画出草图,如图2.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532863053-1632.jpg)
∵k=1,AB=kBC∴AB=BC.
∴平行四边形ABCD是菱形.
∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠ADC,
连接AC.
∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA
∵∠BAP=∠BCP
∴∠CAP=∠ACP,∴AP=CP
∵BP=BP,∴△PAB≌△PCB
∴∠ABP=∠CBP=
1 |
2 |
∵AD=CD,AP=CP,DP=DP
∴△PAD≌△PCD
∴∠ADP=∠CDP=
1 |
2 |
∴∠ABP=∠ADP.
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