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已知:如图,▱ABCD,延长边AB到点E,使BE=AB,连接DE、BD和EC,设DE交BC于点O,∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.
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已知:如图,▱ABCD,延长边AB到点E,使BE=AB,连接DE、BD和EC,设DE交BC于点O,∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.
▼优质解答
答案和解析
证明:在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AB∥CD,
则BE∥CD.
又∵AB=BE,
∴BE=DC,
∴四边形BECD为平行四边形,
∴OD=OE,OC=OB.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.
又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,
∴∠OCD=∠ODC,
∴OC=OD,
∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,
∴平行四边形BECD为矩形.
则BE∥CD.
又∵AB=BE,
∴BE=DC,
∴四边形BECD为平行四边形,
∴OD=OE,OC=OB.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.
又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,
∴∠OCD=∠ODC,
∴OC=OD,
∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,
∴平行四边形BECD为矩形.
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