已知正方形ABCD，探究以下问题：（1）如图1，点F在BC上，作FE⊥BD于点E，取DF的中点G，连接EG、CG，将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，求证：四边形EGCG′是菱形；（2）如图2，点F是BC外一点，作FE

Question

已知正方形ABCD，探究以下问题：
（1）如图1，点F在BC上，作FE⊥BD于点E，取DF的中点G，连接EG、CG，将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，求证：四边形EGCG′是菱形；
（2）如图2，点F是BC外一点，作FE⊥BC于点E，且BE=EF，连接DF，取DF的中点G，将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，作FM⊥CD于点M，请问（1）中的结论”四边形EGCG′是菱形”是否依然成立，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若图2中AB=4，设BE长为x，四边形EGCG′的面积为S，请求出S关于x的函数关系式，并说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCF=90°．
∵G为线段DF的中点，
∴CG=(1)/(2)DF．
∵FE⊥BD，
∴∠FED=90°，
∵G为线段DF的中点，
∴EG=(1)/(2)DF，
∴CG=EG．
∵将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，
∴CG=CG′，EG=EG′，
∴四边形EGCG′四条边相等，
∴四边形EGCG′是菱形．
（2）（1）中的结论”四边形EGCG′是菱形”依然成立．
证明：在图2中，连接BG，GM，如图所示．

∵FE⊥BC于点E，且BE=EF，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBE=45°，
∴∠DBF=∠DBE+∠EBF=90°．
∵G为线段DF的中点，
∴BG=(1)/(2)DF．
∵FM⊥CD于点M，
∴∠DMF=90°，
∵G为线段DF的中点，
∴MG=(1)/(2)DF，
∴BG=MG．
∵FE⊥BC，FM⊥CD，
∴四边形EFMC为矩形，
∴EF=CM．
∴BE=EF=MC．
∵BG=GD，MG=GD，
∴∠DBG=∠BDG，∠GMD=∠GDM，
∵∠DBC=∠CDB=45°，
∴∠GBE=∠DBC-∠DBG=45°-∠BDG，∠GMC=∠GDM=∠CBD-∠BDG=45°-∠BDG，
∴∠GBE=∠GMC．
在△GBE和△GMC中，有

BG=MG

∠GBE=∠GMC

BE=MC

，
∴△GBE≌△GMC（SAS）．
∴GE=GC．
∵将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，
∴CG=CG′，EG=EG′，
∴四边形EGCG′四条边相等，
∴四边形EGCG′是菱形．
（3）在图2的基础上过点G′作G′N⊥CE于点N，如图3所示．

∵△GBE≌△GMC，
∴∠BEG=∠MCG，
∵∠BEG=∠EGC+∠ECG，∠MCG=∠MCG+∠ECM，
∴∠EGC=∠ECM=90°．
∴∠EG′C=90°，△EG′C为等腰直角三角形．
∵AB=4，BE=x，
∴EC=BC-BE=4-x，G′N=(1)/(2)EC=2-(x)/(2)．
四边形EGCG′的面积S=2×(1)/(2)EC•G′N=（4-x）（2-(x)/(2)）=(1)/(2)x²-4x+8（0<x<4）．