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已知正方形ABCD,探究以下问题:(1)如图1,点F在BC上,作FE⊥BD于点E,取DF的中点G,连接EG、CG,将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C,求证:四边形EGCG′是菱形;(2)如图2,点F是BC外一点,作FE
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已知正方形ABCD,探究以下问题:
(1)如图1,点F在BC上,作FE⊥BD于点E,取DF的中点G,连接EG、CG,将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C,求证:四边形EGCG′是菱形;
(2)如图2,点F是BC外一点,作FE⊥BC于点E,且BE=EF,连接DF,取DF的中点G,将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C,作FM⊥CD于点M,请问(1)中的结论”四边形EGCG′是菱形”是否依然成立,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若图2中AB=4,设BE长为x,四边形EGCG′的面积为S,请求出S关于x的函数关系式,并说明理由.
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(1)如图1,点F在BC上,作FE⊥BD于点E,取DF的中点G,连接EG、CG,将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C,求证:四边形EGCG′是菱形;
(2)如图2,点F是BC外一点,作FE⊥BC于点E,且BE=EF,连接DF,取DF的中点G,将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C,作FM⊥CD于点M,请问(1)中的结论”四边形EGCG′是菱形”是否依然成立,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若图2中AB=4,设BE长为x,四边形EGCG′的面积为S,请求出S关于x的函数关系式,并说明理由.
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴∠DCF=90°.
∵G为线段DF的中点,
∴CG=
DF.
∵FE⊥BD,
∴∠FED=90°,
∵G为线段DF的中点,
∴EG=
DF,
∴CG=EG.
∵将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C,
∴CG=CG′,EG=EG′,
∴四边形EGCG′四条边相等,
∴四边形EGCG′是菱形.
(2)(1)中的结论”四边形EGCG′是菱形”依然成立.
证明:在图2中,连接BG,GM,如图所示.
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∵FE⊥BC于点E,且BE=EF,
∴△BEF为等腰直角三角形,
∴∠EBF=45°.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠DBE=45°,
∴∠DBF=∠DBE+∠EBF=90°.
∵G为线段DF的中点,
∴BG=
DF.
∵FM⊥CD于点M,
∴∠DMF=90°,
∵G为线段DF的中点,
∴MG=
DF,
∴BG=MG.
∵FE⊥BC,FM⊥CD,
∴四边形EFMC为矩形,
∴EF=CM.
∴BE=EF=MC.
∵BG=GD,MG=GD,
∴∠DBG=∠BDG,∠GMD=∠GDM,
∵∠DBC=∠CDB=45°,
∴∠GBE=∠DBC-∠DBG=45°-∠BDG,∠GMC=∠GDM=∠CBD-∠BDG=45°-∠BDG,
∴∠GBE=∠GMC.
在△GBE和△GMC中,有
,
∴△GBE≌△GMC(SAS).
∴GE=GC.
∵将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C,
∴CG=CG′,EG=EG′,
∴四边形EGCG′四条边相等,
∴四边形EGCG′是菱形.
(3)在图2的基础上过点G′作G′N⊥CE于点N,如图3所示.
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∵△GBE≌△GMC,
∴∠BEG=∠MCG,
∵∠BEG=∠EGC+∠ECG,∠MCG=∠MCG+∠ECM,
∴∠EGC=∠ECM=90°.
∴∠EG′C=90°,△EG′C为等腰直角三角形.
∵AB=4,BE=x,
∴EC=BC-BE=4-x,G′N=
EC=2-
.
四边形EGCG′的面积S=2×
EC•G′N=(4-x)(2-
)=
x2-4x+8(0<x<4).
∴∠DCF=90°.
∵G为线段DF的中点,
∴CG=
1 |
2 |
∵FE⊥BD,
∴∠FED=90°,
∵G为线段DF的中点,
∴EG=
1 |
2 |
∴CG=EG.
∵将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C,
∴CG=CG′,EG=EG′,
∴四边形EGCG′四条边相等,
∴四边形EGCG′是菱形.
(2)(1)中的结论”四边形EGCG′是菱形”依然成立.
证明:在图2中,连接BG,GM,如图所示.
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∵FE⊥BC于点E,且BE=EF,
∴△BEF为等腰直角三角形,
∴∠EBF=45°.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠DBE=45°,
∴∠DBF=∠DBE+∠EBF=90°.
∵G为线段DF的中点,
∴BG=
1 |
2 |
∵FM⊥CD于点M,
∴∠DMF=90°,
∵G为线段DF的中点,
∴MG=
1 |
2 |
∴BG=MG.
∵FE⊥BC,FM⊥CD,
∴四边形EFMC为矩形,
∴EF=CM.
∴BE=EF=MC.
∵BG=GD,MG=GD,
∴∠DBG=∠BDG,∠GMD=∠GDM,
∵∠DBC=∠CDB=45°,
∴∠GBE=∠DBC-∠DBG=45°-∠BDG,∠GMC=∠GDM=∠CBD-∠BDG=45°-∠BDG,
∴∠GBE=∠GMC.
在△GBE和△GMC中,有
|
∴△GBE≌△GMC(SAS).
∴GE=GC.
∵将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C,
∴CG=CG′,EG=EG′,
∴四边形EGCG′四条边相等,
∴四边形EGCG′是菱形.
(3)在图2的基础上过点G′作G′N⊥CE于点N,如图3所示.
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∵△GBE≌△GMC,
∴∠BEG=∠MCG,
∵∠BEG=∠EGC+∠ECG,∠MCG=∠MCG+∠ECM,
∴∠EGC=∠ECM=90°.
∴∠EG′C=90°,△EG′C为等腰直角三角形.
∵AB=4,BE=x,
∴EC=BC-BE=4-x,G′N=
1 |
2 |
x |
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四边形EGCG′的面积S=2×
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2 |
x |
2 |
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2 |
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