如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE=BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长．

Question

如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE=BF．

（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．
∴∠BCF=180°-∠BCD=180°-90°=90°．
∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，

AE=BF

AD=BC.

∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴∠1=∠F．
∴AE∥BF．
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．

（2） ∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠1=90°．
∵∠BEF=∠DAE，
∴∠BEF+∠1=90°．
∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，
AB=√(AE2+BE2)=√(32+42)=5．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=5．