化简1+cos(t)+cos(2t)+...+cos(nt)

Question

化简1+cos(t)+cos(2t)+...+cos(nt)

Answer 1

解
法一
cost+cos2t+...+cosnt=1/2[(cost+cosnt)+(cos2t+cos(n-1)t)+...+(cosnt+cost)]=[cos(n+1)t/2][cos((n-1)t/2)+cos(((n-3)t/2)+...+cos((n-(2n-1))t/2)=[cos(n+1)t/2/sin(t/2)]*[sin(t/2)*cos((n-1)t/2)+sin(t/2)*cos(((n-3)t/2)+...+sin(t/2)*cos((n-(2n-1))t/2)=1/2[cos(n+1)t/2/sin(t/2)][sin(nt/2)+sin((2-n)t/2)+sin((n-2)t/2)+sin((4-n)t/2)+...+sin((2-n)t/2)+sin(nt/2)]={[cos(n+1)t/2]*[sin(n/2)t]}/[sin(t/2)]
法二
设z=cost+isint
由棣美弗定理 z^n=cosnt+isinnt
则上式左边即为
z+z^2+z^3+...+z^n的实部
又z+z^2+...+z^n=z(1-z^n)/(1-z)
=(cost+isint)(1-cosnt-isinnt)(1-cost+isint)/[(1-cost)^2+sin^2t]
然后只需把分子实部找出来,利用组合原理按顺序找
比如找第一个括号的cost 然后第二个括号的1 第三个括号的1和cost
然后依次 注意要乘都有i的 比如 找了isint 就要搭配isinnt和1-cost
这样
实部A=(cosnt+costcos(n+1)t-1)/2(1-cost)
=2cos((n+1)t/2)sin((n-1)t/2)-2cos^2((n+1)t/2)/4sin^2(t/2)
提公因式 再和差化积
=cos((n+1)t/2)*2sin(nt/2)sin(t/2)/2sin^2(t/2)
={[cos(n+1)t/2]*[sin(n/2)t]}/[sin(t/2)]
故等式得证