利用导数证明arctanx+arctan3x=л-arccotx-arccot3x.(注题中是圆周率pai)

Question

利用导数证明arctanx+arctan3x=л-arccotx-arccot3x.(注题中是圆周率pai)

Answer 1

注意到arccotx= arctan(1/x)
我们先来证
acrtan(x)+arccot(x)
=acrtan(x)+arctan(1/x)
=π/2
令f(x)=arctan x+acrtan (1／x)
则f'(x) = 1/(1+x²) + 1/(1+(1/x)²) * (-1/x²)
= 1/(1+x²) - 1/(1+x²)
=0
就是说f(x)=c是一个常数
令x=1有,f(1)=arctan1 + arctan1 =π／4 +π／4 =π／2 =c
所以arctan x+arccotx=arctan x+acrtan (1／x)=c =π／2
所以
原式左边= (π／2 -arccotx)+(π／2-arccot3x)
=π-arccotx-arccot3x=右
证毕