求∫1/(1+sin²x)dx=∫csc²x/(1+csc²x)dx=-∫1/(2+cot²x)d(cotx)=-1/√2arctan(1/√2cotx)+c=-1/√2arctan（√2tanx）+c不知道哪里求错了

Question

求∫1/(1+sin²x)dx
=∫csc²x/(1+csc²x)dx
=-∫1/(2+cot²x)d(cotx)
=-1/√2 arctan(1/√2cotx) +c
=-1/√2 arctan（√2tanx）+c
不知道哪里求错了

Answer 1

∫｛1/［1＋（sinx）^2］｝dx
＝∫｛（cscx）^2/［1＋（cscx）^2］｝dx
＝－∫｛1/［2＋（cotx）^2］｝d（cotx）.
令cotx＝√2u,得：u＝（1/√2）cotx,d（cotx）＝√2du
∴∫｛1/［1＋（sinx）^2］｝dx
＝－√2∫［1/（2＋2u^2）］du＝－（1/√2）∫［1/（1＋u^2）］du＝－（1/√2）arctanu＋C
＝－（1/√2）arctan［（1/√2）cotx］＋C.
你给出的答案中,最后一步错了!
若最后一步成立,则有：（1/√2）cotx＝√2tanx,得：cotx＝2tanx.这显然是不恒等的!