65的378次方减1能被64整除,推K＞1,n＞0,K︱n,证明K︱[（k+1）n次方-1]

Question

65的378次方减1能被64整除,推K＞1,n＞0,K︱n,证明K︱[（k+1）n次方-1]

Answer 1

告诉楼主个结论：
x^n-1总可以分解成(x-1)*(?)的形式.(x^n-1是x的n次方-1)
此结论的证明：
由等比数列前n 项和公式,构造以1为首项,x为公比的数列
其前n项和为 1+x+x^2+……+x^(n-2)+x^(n-1)=(1-x^n)/(1-x) =(x^n -1)/(x-1) 整理一下就是
x^n -1 =(x-1)[1+x+x^2+……+x^(n-2)+x^(n-1)]
所以[（k+1）n次方-1] = (k+1-1)*(1+k+1+(k+1)^2+...+(k+1)^(n-1))
=k*(1+k+1+(k+1)^2+...+(k+1)^(n-1))
因为(1+k+1+(k+1)^2+...+(k+1)^(n-1))
是整数,所以[（k+1）n次方-1]能被k整除.