已知（2x-1）n展开式中，奇次项系数和比偶次项系数的和小38，求C1n+C2n+C3n+…+Cnn的值．

Question

已知（2x-1）ⁿ展开式中，奇次项系数和比偶次项系数的和小3⁸，求C

1

n

+C

2

n

+C

3

n

+…+C

n

n

的值．

Answer 1

设（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ．且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B．
则：A=a₁+a₃+a₅+…，B=a₀+a₂+a₄+…
由已知可知：B-A=3⁸．
令x=-1，得：a₀-a₁+a₂+…+（-1）ⁿa_n=（-3）ⁿ，
即B-A=3ⁿ，∴n=8．
由二项式系数性质可得：C

1

n

+C

2

n

+C

3

n

+…+C

n

n

=2⁸-1=255．