数列{An},Sn=2An+(-1)的n次方（n>=1）1.求数列{An}的通项公式2.证明：对任意整数m>4有1/a4+1/a5+...+1/am

Question

数列{An},Sn=2An+(-1)的n次方（n>=1）1.求数列{An}的通项公式2.证明：对任意整数m>4有1/a4+1/a5+...+1/am

Answer 1

（1）　首先当
n=1时,s1=2a1-1=a1,得a1=1.
n=2时,s2=2a2+1=a2+a1,得a2=0.
由Sn=2An+(-1)^n ,（n>=1）,得
sn-s(n-1)=(2an+(-1)^n)-(2a(n-1)-(-1)^(n-1))=an,有
an=2a(n-1)-2(-1)^n (1)
由(1)得
a(n+1)=2an-2(-1)^(n+1) (2)
(1)+(2)得
a(n+1)+an=2(an+a(n-1)) (3)
令bn=a(n+1)+an (4)
则bn为公比为2的等比数列,首项
b1=a2+a1=1+0
=1
则 bn=2^(n-1) ,或
a(n+1)+an=2^(n-1) (5)
由(5)式,得
a2+a1=2^0
a3+a2=2^1
a4+a3=2^2
...
a(n+1)+an=2^(n-1)
将上面诸式相加,得
a(n+1)+2(an+a(n-1)+...+a2)+a1
=2^0+2^1+...+2^(n-1)
=2^n-1
上式两端同时加上a(n+1)+a1,得
2(a(n+1)+an+...+a1)=2^n-1+a(n+1)+a1,即
2s(n+1)=2^n-1+a(n+1)+1 (a1=1) ,或　
2(2a(n+1)+(-1)^(n+1))=2^n+a(n+1) ,整理得
3a(n+1)=2^n+2*(-1)^n ,即有
a(n+1)=1/3(2^n+2*(-1)^n) 或
an=1/3*2^(n-1)-2/3*(-1)^n) (6)
即为an通项公式.
（2）?