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怎样证明(2^m-1,2^n-1)=2^(m,n)-1
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怎样证明(2^m-1,2^n-1)=2^(m,n)-1
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答案和解析
记d=(m,n) k=2^d D=(2^m-1,2^n-1)
由公式 k^n-1=(k-1)(k^(n-1)+k^(n-2)+...+1) 所以 k-1|2^n-1 同理k-1|2^m-1 所以k-1|D
又由裴蜀定理存在正整数a,b使得 a*m-b*n=d 因为D|2^n-1 所以D|(2^n)^b-1 同理D|(2^m)^a-1
D|2^(am)-2^(bn)=2^(bn)(2^d-1) 又（D,2^(bn)）=1 所以 D|k-1
综上 D=k-1
由公式 k^n-1=(k-1)(k^(n-1)+k^(n-2)+...+1) 所以 k-1|2^n-1 同理k-1|2^m-1 所以k-1|D
又由裴蜀定理存在正整数a,b使得 a*m-b*n=d 因为D|2^n-1 所以D|(2^n)^b-1 同理D|(2^m)^a-1
D|2^(am)-2^(bn)=2^(bn)(2^d-1) 又（D,2^(bn)）=1 所以 D|k-1
综上 D=k-1
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