求a,b,使x→0时f(x)=sin2x+ax+bx³为x的尽可能高阶无穷小,并求此时的阶.（泰勒公式相关知识）

Question

求a,b,使x→0时f(x)=sin2x+ax+bx³为x的尽可能高阶无穷小,并求此时的阶.（泰勒公式相关知识）

Answer 1

因为 sinx=x - x³/3!+ x^5/5!-o(x^5) (此为sinx的泰勒展开,只取前三项,后面o(x^5)为x^5的高阶无穷小）
所以sin2x=2x - (2x)³/3!+ (2x)^5/5!+ o(x^5)
f(x)=(2+a)x+(b-4/3)x³+4/15x^5 + o(x^5)
只有当2+a=0
b-4/3=0 时
f(x)才是x的最高阶5阶,即a= -2
b= 4/3
此时的阶是5阶