如图，已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x2=-2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，OA+OB＝(−4，−12)．（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值

Question

如图，已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x²=-2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，

OA

+

OB

＝(−4，−12)．
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由

y＝kx−2

x2＝−2py

得，x²+2pkx-4p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4，
因为

OA

+

OB

＝(x1+x2，y1+y2)＝(−2pk，−2pk2−4)=（-4，-12），
所以

−2pk＝−4

−2pk2−4＝−12.

解得

p＝1

k＝2.

所以直线l的方程为y=2x-2，抛物线C的方程为x²=-2y
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），依题意，抛物线过P的切线与l平行时，△APB面积最大，y′=-x，所以-x₀=2⇒x₀=-2，y0＝−(1)/(2)x02＝−2，所以P（-2，-2）．
此时P到直线l的距离d＝(|2•(−2)−(−2)−2|)/(√(22+(−1)2))＝(4)/(√(5))＝(4√(5))/(5)，
由

y＝2x−2

x2＝−2y

得，x²+4x-4=0，
|AB|＝√(1+k2)√((x1+x2)2−4x1•x2)＝√(1+22)√((−4)2−4(−4))＝4√(10)
∴△ABP的面积最大值为(4√(10)•(4√(5))/(5))/(2)＝8√(2)．