（2009•深圳）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．（1）求线

Question

（2009•深圳）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）设OA的长为x，则OB=5-x；
∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，∴OC²=OA•OB
∴2²=x（5-x）                                      …（1分）
解得：x₁=1，x₂=4，
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；                      …（2分）
∴点A、B、C的坐标分别是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；
（注：直接用射影定理的，不扣分）
方法一：设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax²+bx+2，
将A、B、C三点的坐标代入得

a−b+2＝0

16a+4b+2＝0

c＝2

…（3分）
解得：a=−(1)/(2)，b=(3)/(2)，c=2
所以这个二次函数的表达式为：y＝−(1)/(2)x2+(3)/(2)x+2…（4分）
方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x-4）…（3分）
将C点的坐标代入得：a=−(1)/(2)
所以这个二次函数的表达式为：y＝−(1)/(2)x2+(3)/(2)x+2…（4分）
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）①当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：(3，(1)/(2))，((4)/(5)，(8)/(5))，(4−(4√(5))/(5)，(2√(5))/(5))．
…1+1+（1分）
（注：符合条件的E点共有三个，其坐标，写对一个给1分）
②如图1，连接OP，
S_△CDP=S_{四边形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP