阅读资料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2-x1|2+|y2-y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=(x2-x1)2+(y2-y1)

Question

阅读资料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB²=|x₂-x₁|²+|y₂-y₁|²，所以A，B两点间的距离为AB= √((x2-x1)2+(y2-y1)2)．
我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA²=|x-0|²+|y-0|²，当 O的半径OA为r时， O的方程可写为：x²+y²=r²．
问题拓展：
如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么 P的方程可以写为___．
综合应用：
如图3， P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是 P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是 P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的 Q的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

问题拓展：设A（x，y）为 P上任意一点，
∵P（a，b），半径为r，
∴AP²=（x-a）²+（y-b）²=r²．
故答案为：（x-a）²+（y-b）²=r²；

综合应用：
①∵PO=PA，PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD．

在△POB和△PAB中，

PO=PA

∠OPB=∠APB

PB=PB

，
∴△POB≌△PAB．
∴∠PAB=∠POB=90°．
∴PA⊥AB．
∵PA是半径，PA⊥AB于A，
∴AB是 P的切线．
②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．
当点Q在线段BP中点时，
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=QA=QB．
∴此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．
∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°，
∴∠PBO=30°．
∴在Rt△POB中，OB=√(3)OP=6√(3)，PB=2PO=12．
∴B点坐标为(6√(3)，0)．
∵Q是PB中点，P（0，6），B(6√(3)，0)，
∴Q点坐标为(3√(3)，3)．
∵OQ=(1)/(2)PB=6，
∴以Q为圆心，OQ为半径的 Q的方程为(x-3√(3))2+(y-3)2=36．