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(2009•河池)如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;(2)在平面直角坐标系xoy中
题目详情
(2009•河池)如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)①对称轴x=-
=-2;
②当y=0时,有x2+4x+3=0,
解之,得x1=-1,x2=-3,
∴点A的坐标为(-3,0).
(2)满足条件的点P有3个,分别为(-2,3),(2,3),(-4,-3).
(3)存在.
当x=0时,y=x2+4x+3=3
∴点C的坐标为(0,3),
∵DE∥y轴,AO=3,EO=2,AE=1,CO=3,
∴△AED∽△AOC
∴
=
即
=
,
∴DE=1.
∴S梯形DEOC=
(1+3)×2=4,
在OE上找点F,使OF=
,
此时S△COF=
×
×3=2,直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分,交抛物线于点M.
设直线CM的解析式为y=kx+3,它经过点F(-
,0).
则-
k+3=0,(11分)
解之,得k=
,
∴直线CM的解析式为y=
x+3.
4 |
2 |
②当y=0时,有x2+4x+3=0,
解之,得x1=-1,x2=-3,
∴点A的坐标为(-3,0).
(2)满足条件的点P有3个,分别为(-2,3),(2,3),(-4,-3).
(3)存在.
当x=0时,y=x2+4x+3=3
∴点C的坐标为(0,3),
∵DE∥y轴,AO=3,EO=2,AE=1,CO=3,
∴△AED∽△AOC
∴
AE |
AO |
DE |
CO |
1 |
3 |
DE |
3 |
∴DE=1.
∴S梯形DEOC=
1 |
2 |
在OE上找点F,使OF=
4 |
3 |
此时S△COF=
1 |
2 |
4 |
3 |
设直线CM的解析式为y=kx+3,它经过点F(-
4 |
3 |
则-
4 |
3 |
解之,得k=
9 |
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∴直线CM的解析式为y=
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