设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为35．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．

Question

设椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为(3)/(5)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为(4)/(5)的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．

Answer 1

（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得(16)/(b2)=1，∴b=4，…（1分）
由e=(c)/(a)=(3)/(5)，得1-(16)/(a2)=(9)/(25)，∴a=5，…（3分）
∴椭圆C的方程为(x2)/(25)+(y2)/(16)=1．…（4分）
（2）过点（3，0）且斜率为(4)/(5)的直线为y=(4)/(5)（x-3），…（5分）
设直线与椭圆C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=(4)/(5)（x-3）代入椭圆C方程，整理得x²-3x-8=0，…（7分）
由韦达定理得x₁+x₂=3，
y₁+y₂=(4)/(5)（x₁-3）+(4)/(5)（x₂-3）=(4)/(5)（x₁+x₂）-(24)/(5)=-(12)/(5)．…（10分）
由中点坐标公式AB中点横坐标为(3)/(2)，纵坐标为-(6)/(5)，
∴所截线段的中点坐标为（(3)/(2)，-(6)/(5)）．…（12分）